Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\tan (\frac{6}{x})}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (\frac{6}{x})$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}}$

Bước 1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$

Bước 1.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$ sang $\sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$ .

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\sin (lim_{x \to 8} \frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sin (3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sin (3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Bước 7

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (lim_{x \to 8} \frac{6}{x})$

Bước 8

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{8}$ .

$\sin (\frac{3}{8}) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Bước 12.2

Tính $\sin (\frac{3}{8})$ .

$0.36627252 \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$0.36627252 \cdot \cot (2 (3) \frac{1}{8})$

Bước 12.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Bước 12.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Bước 12.3.4

Viết lại biểu thức.

$0.36627252 \cdot \cot (3 (\frac{1}{4}))$

Bước 12.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4}$ .

$0.36627252 \cdot \cot (\frac{3}{4})$

Bước 12.5

Tính $\cot (\frac{3}{4})$ .

$0.36627252 \cdot 1.07342614$

Bước 12.6

Nhân $0.36627252$ với $1.07342614$ .

$0.39316651$