Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Bước 11.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Bước 11.4

Trừ $1$ khỏi $128$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Bước 11.5

Nhân $8$ với $8^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Nhân $8$ với $8^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Bước 11.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1 + 2}}}$

Bước 11.5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{3}}}$

Bước 11.6

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 512}}$

Bước 11.7

Cộng $8$ và $512$ .

$\sqrt{\frac{127}{520}}$

Bước 11.8

Viết lại $\sqrt{\frac{127}{520}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$

Bước 11.9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.1

Viết lại $520$ ở dạng $2^{2} \cdot 130$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $520$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{4 (130)}}$

Bước 11.9.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{2^{2} \cdot 130}}$

Bước 11.9.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$

Bước 11.10

Nhân $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ với $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$

Bước 11.11

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.11.1

Nhân $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ với $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \sqrt{130} \sqrt{130}}$

Bước 11.11.2

Di chuyển $\sqrt{130}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 (\sqrt{130} \sqrt{130})}$

Bước 11.11.3

Nâng $\sqrt{130}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130})}$

Bước 11.11.4

Nâng $\sqrt{130}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1})}$

Bước 11.11.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

Bước 11.11.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{2}}$

Bước 11.11.7

Viết lại ${\sqrt{130}}^{2}$ ở dạng $130$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.11.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{130}$ ở dạng $130^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.11.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 11.11.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.11.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.11.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.11.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{1}}$

Bước 11.11.7.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130}$

Bước 11.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.12.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{127 \cdot 130}}{2 \cdot 130}$

Bước 11.12.2

Nhân $127$ với $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{2 \cdot 130}$

Bước 11.13

Nhân $2$ với $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Dạng thập phân:

$0.49419709 \dots$