Giải tích Ví dụ

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.1.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.1.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.1.6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.1.7

Tính giới hạn của $\frac{1}{2}$ mà không đổi khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.3.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.2.3.4

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Bước 1.1.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3

Tính $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết lại $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ ở dạng ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{- 1}$ và $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + \sin (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $θ$ , đạo hàm của $2$ đối với $θ$ là $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.5

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.3.6

Cộng $0$ và $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.4

Vì $- \frac{1}{2}$ là hằng số đối với $θ$ , đạo hàm của $- \frac{1}{2}$ đối với $θ$ là $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Kết hợp $\cos (θ)$ và $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.5.2.2

Cộng $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ và $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 1.3.6

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

Bước 1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Bước 1.5

Nhân $\frac{1}{\cos (θ)}$ với $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 1.6.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $θ$ .

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.4

Đưa số mũ $2$ từ ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

Bước 3

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

Bước 4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

Bước 4.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$- 0.25$