Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{3}{x}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $- \frac{3}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{3}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Bước 1.2

Nhân $\frac{3}{x}$ với $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{3 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Bước 1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 - 3 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 - lim_{x \to 0} 3 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.1.2

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 0} 3 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.1.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 - 3 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.1.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{3 - 3 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.1.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.1.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3 - 3 \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.3.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{3 - 3 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.3.1.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.2.3.2

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.1.3.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

Bước 2.1.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

Bước 2.1.3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Bước 2.1.3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Bước 2.1.3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Bước 2.1.3.6.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Bước 2.1.3.6.3

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.6.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - 3 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 3 \sqrt{1 + x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 \sqrt{1 + x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x}$ ở dạng ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.12

Cộng $0$ và $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.14

Nhân $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 \frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.15

Di chuyển ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 3 \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.16

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{- 3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.4.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.5

Trừ $\frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Bước 2.3.6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x}$ ở dạng ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Bước 2.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.15

Di chuyển ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.16

Kết hợp $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.17

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.18

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.19

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.20

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.21

Nhân $\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.22

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Bước 2.3.23

Nhân ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.3.24

Để viết ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.25

Kết hợp ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.27

Nhân ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.27.1

Di chuyển ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.27.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.27.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.27.4

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.27.5

Chia $2$ cho $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.28

Rút gọn ${(1 + x)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + (1 + x) \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.29

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot (1 + x)}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.30

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.30.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.30.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.30.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.3.30.2.2

Cộng $x$ và $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Bước 2.5

Chuyển đổi các số mũ phân số sang căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Bước 2.5.2

Viết lại ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$

Bước 2.6

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$ với $\frac{3}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + x} \cdot 3}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Bước 2.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{6 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (3 \sqrt{1 + x})}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Bước 2.7.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (3 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Bước 2.7.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (3 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Bước 2.7.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} - \frac{3 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (\sqrt{1 + x})}$

Bước 2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{1 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} - \frac{3 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) \sqrt{1 + x}}$

Bước 2.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} - \frac{3}{3 x + 2}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{3}{3 x + 2}$

Bước 3.2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x + 2}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Bước 3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Bước 3.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 3.6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 3 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 3.7

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$- 3 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + 2}$

Bước 4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- 3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$- 3 \frac{1}{0 + 2}$

Bước 5.1.2

Cộng $0$ và $2$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Bước 5.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Bước 5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$- 1.5$