Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{3 x - 5}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Bước 2.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{3 - \frac{5}{x}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Bước 2.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{5}{x}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{3 - 5 \cdot 0}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3 - 5 \cdot 0}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3 + 0}$

Bước 6.2.2

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Dạng thập phân:

$0.47140452 \dots$