Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Bước 3

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Bước 7.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{8})$ là $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $\frac{π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Bước 7.2.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi cho tang.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Bước 7.2.3

Đổi $\pm$ thành $+$ vì tan có giá trị dương trong góc phần tư thứ nhất.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Bước 7.2.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Bước 7.2.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Bước 7.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Bước 7.2.4.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Bước 7.2.4.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Bước 7.2.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 7.2.4.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Bước 7.2.4.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Bước 7.2.4.8.2

Viết lại biểu thức.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Bước 7.2.4.9

Nhân $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ với $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Bước 7.2.4.10

Nhân $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ với $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Bước 7.2.4.11

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Bước 7.2.4.12

Rút gọn.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.14.2

Viết lại biểu thức.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.15

Kết hợp $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.16

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.2

Nhân $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.2.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Bước 7.2.4.16.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Bước 7.2.4.16.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.3.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3.1.5

Tính số mũ.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 7.2.4.16.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Bước 7.2.4.16.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \sqrt{2} - 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Bước 7.2.4.16.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Bước 7.2.4.16.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Bước 7.2.4.16.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.16.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Bước 7.2.4.16.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Bước 7.2.4.16.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Bước 7.2.4.16.4.4.4

Chia $\sqrt{2} - 1$ cho $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Bước 7.2.4.16.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Bước 7.2.4.16.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Bước 7.2.4.17

Cộng $2$ và $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Bước 7.2.4.18

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Dạng thập phân:

$3.31370849 \dots$