Giải tích Ví dụ

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{2 \sin^{2} (θ)}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2.1.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (θ)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Bước 2.1.3.1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (lim_{θ \to 0} θ)}$

Bước 2.1.3.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Bước 2.1.3.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $θ$ , đạo hàm của $1$ đối với $θ$ là $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.4

Tính $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $- \cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.4.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.4.4

Nhân $\sin (θ)$ với $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.5

Cộng $0$ và $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Bước 2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 2.3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 2.3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Bước 2.3.7

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Bước 2.3.8.2

Sắp xếp lại $2 \cos (θ)$ và $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 2 \cos (θ)}$

Bước 2.3.8.3

Sắp xếp lại $\sin (θ)$ và $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cdot \sin (θ) \cos (θ)}$

Bước 2.3.8.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Bước 3.1.2.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Bước 3.1.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Bước 3.1.3.1.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Bước 3.1.3.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Bước 3.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Bước 3.1.3.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.2

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \sin (θ)$ và $g (θ) = 2 θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Bước 3.3.3.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Bước 3.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 θ$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \cdot 1}$

Bước 3.3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Bước 3.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ)}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $θ$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Bước 4.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Bước 4.4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Bước 4.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $θ$ bằng cách điền vào $0$ cho $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Bước 6.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Bước 6.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Bước 6.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Bước 6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.25$