Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 1}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 9

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.1.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.1.3

Nhân $- 3$ với $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.1.4

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.1.5

Trừ $24$ khỏi $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.1.6

Trừ $6$ khỏi $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1}}$

Bước 12.2.3

Trừ $1$ khỏi $4096$ .

$\frac{98}{\sqrt{4095}}$

Bước 12.2.4

Viết lại $4095$ ở dạng $3^{2} \cdot 455$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $4095$ .

$\frac{98}{\sqrt{9 (455)}}$

Bước 12.2.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{98}{\sqrt{3^{2} \cdot 455}}$

Bước 12.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{98}{3 \sqrt{455}}$

Bước 12.3

Nhân $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ với $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98}{3 \sqrt{455}} \cdot \frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$

Bước 12.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ với $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \sqrt{455} \sqrt{455}}$

Bước 12.4.2

Di chuyển $\sqrt{455}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 (\sqrt{455} \sqrt{455})}$

Bước 12.4.3

Nâng $\sqrt{455}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} \sqrt{455})}$

Bước 12.4.4

Nâng $\sqrt{455}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} {\sqrt{455}}^{1})}$

Bước 12.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{1 + 1}}$

Bước 12.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{2}}$

Bước 12.4.7

Viết lại ${\sqrt{455}}^{2}$ ở dạng $455$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{455}$ ở dạng $455^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {(455^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 12.4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 12.4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{1}}$

Bước 12.4.7.5

Tính số mũ.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455}$

Bước 12.5

Triệt tiêu thừa số chung của $98$ và $455$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $7$ ra ngoài $98 \sqrt{455}$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{3 \cdot 455}$

Bước 12.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $3 \cdot 455$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Bước 12.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Bước 12.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 \sqrt{455}}{3 \cdot 65}$

Bước 12.6

Nhân $3$ với $65$ .

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Dạng thập phân:

$1.53143695 \dots$