Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 11

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 12

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14.1.2

Nhân $9$ với $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14.1.3

Cộng $576$ và $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14.1.4

Viết lại $592$ ở dạng $4^{2} \cdot 37$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.4.1

Đưa $16$ ra ngoài $592$ .

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14.1.4.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Bước 14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

Bước 14.2.2

Cộng $512$ và $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

Bước 14.2.3

Viết lại $513$ ở dạng $3^{2} \cdot 57$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1

Đưa $9$ ra ngoài $513$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

Bước 14.2.3.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

Bước 14.2.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

Bước 14.3

Nhân $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ với $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

Bước 14.4

Nhân $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ với $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

Bước 14.5

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Bước 14.6

Rút gọn.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

Bước 14.7

Nhóm $2 - 3 \sqrt{57}$ và $\sqrt{37}$ với nhau.

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

Bước 14.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

Bước 14.9

Nhân $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.9.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

Bước 14.9.2

Nhân $37$ với $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

Bước 14.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Dạng thập phân:

$0.98708074 \dots$