Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} - x}}{x^{3} + 9}$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{6} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) - x}}{x^{3} + 9}$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 9}$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (9 x^{5}) + x \cdot - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (9 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 9}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (9 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 5.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{5}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7.1.2

Chia $9$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 7.5

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{5}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 9.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}$

Bước 9.4

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 - 0}{1}}}{1 + 9 \cdot 0}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia $9 - 0$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

Bước 11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 + 9 \cdot 0}$

Bước 11.2.2

Cộng $9$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 + 9 \cdot 0}$

Bước 11.2.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 + 9 \cdot 0}$

Bước 11.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3}{1 + 9 \cdot 0}$

Bước 11.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $9$ với $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Bước 11.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3}{1}$

Bước 11.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3$