Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{2 x^{2} - 4}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 4

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 5

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 6

Chuyển số hạng $64$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Bước 10

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Bước 11

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Bước 12

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 13.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 13.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 4096 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.2

Nhân $16$ với $4096$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 64 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.4

Nhân $64$ với $64$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.5

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.6

Cộng $65536$ và $4096$ .

$\frac{\sqrt{69632 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.7

Cộng $69632$ và $64$ .

$\frac{\sqrt{69696}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.8

Viết lại $69696$ ở dạng $264^{2}$ .

$\frac{\sqrt{264^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.1.9

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{264}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Bước 14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{264}{2 \cdot 64 - 1 \cdot 4}$

Bước 14.2.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{264}{128 - 1 \cdot 4}$

Bước 14.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{264}{128 - 4}$

Bước 14.2.4

Trừ $4$ khỏi $128$ .

$\frac{264}{124}$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung của $264$ và $124$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $264$ .

$\frac{4 (66)}{124}$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $124$ .

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

Bước 14.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

Bước 14.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{66}{31}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{66}{31}$

Dạng thập phân:

$2.12903225 \dots$