Giải tích Ví dụ

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Bước 1

Viết $4 x^{3} - 9 x^{4}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 9 x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{4}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $4$ với $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Bước 2.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $- 36$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 36 x^{3}$ đối với $x$ là $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Bước 2.2.2.3

Nhân $3$ với $- 36$ .

$- 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 108 x^{2} + 12 (2 x)$

Bước 2.2.3.3

Nhân $2$ với $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

Bước 3.2

Đưa $- 12 x$ ra ngoài $- 108 x^{2} + 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $- 12 x$ ra ngoài $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

Bước 3.2.2

Đưa $- 12 x$ ra ngoài $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

Bước 3.2.3

Đưa $- 12 x$ ra ngoài $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

Bước 3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

Bước 3.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.5

Đặt $9 x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $9 x - 2$ bằng với $0$ .

$9 x - 2 = 0$

Bước 3.5.2

Giải $9 x - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x = 2$

Bước 3.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $9 x = 2$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x = 2$ cho $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Bước 3.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Bước 3.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

Bước 3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 12 x (9 x - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{2}{9}$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ trong $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 9$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 4.1.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $0$ trong $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ là $(0, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0, 0)$

Bước 4.3

Thay $\frac{2}{9}$ trong $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{2}{9}$ trong biểu thức.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Bước 4.3.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Bước 4.3.2.1.3

Nâng $9$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Bước 4.3.2.1.4

Nhân $4 (\frac{8}{729})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Bước 4.3.2.1.4.2

Nhân $4$ với $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Bước 4.3.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

Bước 4.3.2.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

Bước 4.3.2.1.7

Nâng $9$ lên lũy thừa $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

Bước 4.3.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.8.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

Bước 4.3.2.1.8.2

Đưa $9$ ra ngoài $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Bước 4.3.2.1.8.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Bước 4.3.2.1.8.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

Bước 4.3.2.1.9

Viết lại $- 1 (\frac{16}{729})$ ở dạng $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

Bước 4.3.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

Bước 4.3.2.2.2

Trừ $16$ khỏi $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

Bước 4.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{2}{9}$ trong $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ là $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 0.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 108$ với $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

Bước 6.2.1.3

Nhân $24$ với $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

Bước 6.2.2

Trừ $2.4$ khỏi $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.48$ .

$- 3.48$

Bước 6.3

Tại $- 0.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 3.48$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, 0)$

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \frac{2}{9})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.\overline{1}$ trong biểu thức.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0.\overline{1}$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 108$ với $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

Bước 7.2.1.3

Nhân $24$ với $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

Bước 7.2.2

Cộng $- 1.33333333$ và $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.33333333$ .

$1.33333333$

Bước 7.3

Tại $0.\overline{1}$ , đạo hàm bậc hai là $1.33333333$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(0, \frac{2}{9})$ .

Tăng trên $(0, \frac{2}{9})$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{2}{9}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.3\overline{2}$ trong biểu thức.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $0.3\overline{2}$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

Bước 8.2.1.2

Nhân $- 108$ với $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

Bước 8.2.1.3

Nhân $24$ với $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

Bước 8.2.2

Cộng $- 11.21333333$ và $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.48$ .

$- 3.48$

Bước 8.3

Tại $0.3\overline{2}$ , đạo hàm bậc hai là $- 3.48$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(\frac{2}{9}, \infty)$

Giảm trên $(\frac{2}{9}, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Bước 10