Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x$

Bước 1

Nhân để trục căn thức ở tử.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển tử số bằng phương pháp FOIL.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Bước 2.2.2

Cộng $3 x$ và $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2} + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

Bước 3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

Bước 3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (4 x) + x \cdot 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Bước 3.2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Bước 4

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Bước 5.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 7.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 8

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 9.6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chia $4 + 3 \cdot 0$ cho $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.2

Cộng $4$ và $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

Bước 11.3.2.7

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Bước 11.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (- \frac{1}{4})$

Bước 11.3.4

Nhân $3 (- \frac{1}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Bước 11.3.4.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Bước 11.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{4}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3}{4}$

Dạng thập phân:

$- 0.75$