Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 48 x^{2}$ đối với $x$ là $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $- 144$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 144 x$ đối với $x$ là $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.5.3

Nhân $- 144$ với $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 1.6

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Vì $288$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $288$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Bước 1.6.2

Cộng $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ và $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{3}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 96$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 96 x$ đối với $x$ là $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.4.3

Nhân $- 96$ với $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- 144$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 144$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $36 x^{2} + 24 x - 96$ và $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 48 x^{2}$ đối với $x$ là $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.4.3

Nhân $2$ với $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.5

Tính $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Vì $- 144$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 144 x$ đối với $x$ là $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.5.3

Nhân $- 144$ với $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Bước 4.1.6

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Vì $288$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $288$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Bước 4.1.6.2

Cộng $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ và $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Bước 5.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $12$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Bước 5.2.1.2

Đưa $12$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

Bước 5.2.1.3

Đưa $12$ ra ngoài $- 96 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

Bước 5.2.1.4

Đưa $12$ ra ngoài $- 144$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Bước 5.2.1.5

Đưa $12$ ra ngoài $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Bước 5.2.1.6

Đưa $12$ ra ngoài $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Bước 5.2.1.7

Đưa $12$ ra ngoài $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

Bước 5.2.2

Phân tích $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Bước 5.2.2.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Bước 5.2.2.3

Thay $- 2$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 2$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Thay $- 2$ vào đa thức.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Bước 5.2.2.3.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Bước 5.2.2.3.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Bước 5.2.2.3.4

Cộng $- 8$ và $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Bước 5.2.2.3.5

Nhân $- 8$ với $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Bước 5.2.2.3.6

Cộng $- 4$ và $16$ .

$12 - 12$

Bước 5.2.2.3.7

Trừ $12$ khỏi $12$ .

$0$

Bước 5.2.2.4

Vì $- 2$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 2$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Bước 5.2.2.5

Chia $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ cho $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Bước 5.2.2.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Bước 5.2.2.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Bước 5.2.2.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Bước 5.2.2.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Bước 5.2.2.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Bước 5.2.2.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Bước 5.2.2.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Bước 5.2.2.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Bước 5.2.2.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Bước 5.2.2.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Bước 5.2.2.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 6 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Bước 5.2.2.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Bước 5.2.2.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Bước 5.2.2.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Bước 5.2.2.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} - x - 6$

Bước 5.2.2.6

Viết $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Bước 5.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Phân tích $x^{2} - x - 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Phân tích $x^{2} - x - 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 6$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 3, 2$

Bước 5.2.3.1.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Bước 5.2.3.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Bước 5.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nâng $x + 2$ lên lũy thừa $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Bước 5.2.4.2

Nâng $x + 2$ lên lũy thừa $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Bước 5.2.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Bước 5.2.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 5.4

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 5.4.2

Giải ${(x + 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 5.4.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 5.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 5.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ đúng.

$x = - 2, 3$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - 2, 3$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

Bước 9.1.2

Nhân $36$ với $4$ .

$144 + 24 (- 2) - 96$

Bước 9.1.3

Nhân $24$ với $- 2$ .

$144 - 48 - 96$

Bước 9.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $48$ khỏi $144$ .

$96 - 96$

Bước 9.2.2

Trừ $96$ khỏi $96$ .

$0$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - 2)$ trong đạo hàm đầu tiên $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Bước 10.2.2.1.2

Nhân $12$ với $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Bước 10.2.2.1.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

Bước 10.2.2.1.4

Nhân $12$ với $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

Bước 10.2.2.1.5

Nhân $- 96$ với $- 4$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Cộng $- 768$ và $192$ .

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

Bước 10.2.2.2.2

Cộng $- 576$ và $384$ .

$f' (- 4) = - 192 - 144$

Bước 10.2.2.2.3

Trừ $144$ khỏi $- 192$ .

$f' (- 4) = - 336$

Bước 10.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 336$ .

$- 336$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- 2, 3)$ trong đạo hàm đầu tiên $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Bước 10.3.2.1.2

Nhân $12$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Bước 10.3.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Bước 10.3.2.1.4

Nhân $12$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Bước 10.3.2.1.5

Nhân $- 96$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

Bước 10.3.2.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f' (0) = 0 - 144$

Bước 10.3.2.2.3

Trừ $144$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 144$

Bước 10.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 144$ .

$- 144$

Bước 10.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(3, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Bước 10.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Bước 10.4.2.1.2

Nhân $12$ với $216$ .

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Bước 10.4.2.1.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

Bước 10.4.2.1.4

Nhân $12$ với $36$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

Bước 10.4.2.1.5

Nhân $- 96$ với $6$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

Bước 10.4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.2.1

Cộng $2592$ và $432$ .

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

Bước 10.4.2.2.2

Trừ $576$ khỏi $3024$ .

$f' (6) = 2448 - 144$

Bước 10.4.2.2.3

Trừ $144$ khỏi $2448$ .

$f' (6) = 2304$

Bước 10.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2304$ .

$2304$

Bước 10.5

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = - 2$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 10.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 3$ , nên $x = 3$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 3$ là cực tiểu địa phương

Bước 11