Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 1.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 1.3.8

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.3.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Bước 1.3.10

Nhân $2$ với $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.3.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.3.12

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.3.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Bước 1.3.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.3.13.3

Viết lại biểu thức.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.1.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.2.5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Bước 2.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Bước 2.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 2.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 2.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Bước 2.2.9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Bước 2.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Bước 2.2.11

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.2.12

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.2.13

Nhân $x^{- \frac{2}{3}}$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Bước 2.2.13.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Bước 2.2.13.3

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Bước 2.2.13.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Bước 2.2.14

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Bước 2.2.15

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.2.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.2.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.3

Trừ $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 4.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 4.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 4.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 4.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 4.1.3.6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 4.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 4.1.3.8

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 4.1.3.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Bước 4.1.3.10

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 4.1.3.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.1.3.12

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.1.3.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Bước 4.1.3.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.1.3.13.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Bước 5.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Bước 5.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ với $x^{\frac{1}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 5.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Bước 5.5.2.2.2

Chia $x^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Bước 5.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Chia $2$ cho $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Bước 5.5.3

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 5.5.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 5.5.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Bước 5.5.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Bước 5.5.4.1.1.2

Rút gọn.

$x = {(- 1)}^{3}$

Bước 5.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$x = - 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Bước 6.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 6.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x = 0^{3}$

Bước 6.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - 1, 0$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 9.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 9.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{4}}$

Bước 9.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Bước 9.2

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Bước 10

$x = - 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 1$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 11.2.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 11.2.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 11.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Bước 11.2.1.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 \cdot 1$

Bước 11.2.1.6

Nhân $3$ với $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3$

Bước 11.2.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$f (- 1) = 1$

Bước 11.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 13.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 13.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Bước 13.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Bước 13.3.2

Nhân $3$ với $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Bước 13.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- \frac{2}{0}$

Bước 13.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 14

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 14.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 14.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 14.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 0.5$ , từ khoảng $(- 1, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.5$ trong biểu thức.

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 14.3.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 14.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 14.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1.1

Di chuyển ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Bước 14.4.2.1.2

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1.2.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Bước 14.4.2.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 14.4.2.1.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Bước 14.4.2.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3 - 1}{3}}$

Bước 14.4.2.1.2.4

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Bước 14.4.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $2 + 2^{\frac{2}{3}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Bước 14.5

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = - 1$ , nên $x = - 1$ là một cực đại địa phương.

$x = - 1$ là cực đại địa phương

Bước 14.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 14.7

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 1$ là cực đại địa phương

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

$x = - 1$ là cực đại địa phương

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 15