Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \cos (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 (- \sin (x))$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Bước 2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

Bước 4

Phân tích $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $6 \cos (x)$ ra ngoài $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $6 \cos (x)$ ra ngoài $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

Bước 4.1.2

Đưa $6 \cos (x)$ ra ngoài $- 6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 4.1.3

Đưa $6 \cos (x)$ ra ngoài $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Bước 4.2

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Bước 6

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 6.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 6.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 6.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 7

Đặt $- \sin (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $- \sin (x) - 1$ bằng với $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $- \sin (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \sin (x) = 1$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 7.2.2.2.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Bước 7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Bước 7.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 7.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.5

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 7.2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 7.2.6.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 7.2.7

Đáp án của phương trình $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.3

Nhân $- 6$ với $0$ .

$0 + 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 + 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.6

Nhân $6$ với $1$ .

$0 + 6 + 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 10.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + 6 + 6 \cdot 1$

Bước 10.1.8

Nhân $6$ với $1$ .

$0 + 6 + 6$

Bước 10.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $0$ và $6$ .

$6 + 6$

Bước 10.2.2

Cộng $6$ và $6$ .

$12$

Bước 11

$x = \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 0^{2} - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 0 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.2.1.3

Nhân $3$ với $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.2.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 6 \cdot 1$

Bước 12.2.1.5

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 6$

Bước 12.2.2

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$y = - 6$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 6 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.4

Nhân $- 6$ với $0$ .

$0 + 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$0 + 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 6 {(- 1)}^{2} + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$0 + 6 \cdot 1 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.9

Nhân $6$ với $1$ .

$0 + 6 + 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 14.1.10

$0 + 6 + 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 14.1.11

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + 6 + 6 (- 1 \cdot 1)$

Bước 14.1.12

Nhân $6 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.12.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 6 + 6 \cdot - 1$

Bước 14.1.12.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$0 + 6 - 6$

Bước 14.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Cộng $0$ và $6$ .

$6 - 6$

Bước 14.2.2

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$0$

Bước 15

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Bước 15.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = - 6 \cos (- 4) \sin (- 4) - 6 \cos (- 4)$

Bước 15.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.2.1.1

Tính $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 6 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 6 \cos (- 4)$

Bước 15.2.2.1.2

Nhân $- 6$ với $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 3.92186172 \sin (- 4) - 6 \cos (- 4)$

Bước 15.2.2.1.3

Tính $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 3.92186172 \cdot 0.75680249 - 6 \cos (- 4)$

Bước 15.2.2.1.4

Nhân $3.92186172$ với $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 2.96807473 - 6 \cos (- 4)$

Bước 15.2.2.1.5

Tính $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 2.96807473 - 6 \cdot - 0.65364362$

Bước 15.2.2.1.6

Nhân $- 6$ với $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 2.96807473 + 3.92186172$

Bước 15.2.2.2

Cộng $2.96807473$ và $3.92186172$ .

$f' (- 4) = 6.88993646$

Bước 15.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.88993646$ .

$6.88993646$

Bước 15.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = - 6 \cos (0) \sin (0) - 6 \cos (0)$

Bước 15.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f' (0) = - 6 \cdot (1 \sin (0)) - 6 \cos (0)$

Bước 15.3.2.1.2

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f' (0) = - 6 \sin (0) - 6 \cos (0)$

Bước 15.3.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f' (0) = - 6 \cdot 0 - 6 \cos (0)$

Bước 15.3.2.1.4

Nhân $- 6$ với $0$ .

$f' (0) = 0 - 6 \cos (0)$

Bước 15.3.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Bước 15.3.2.1.6

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Bước 15.3.2.2

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 6$

Bước 15.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$- 6$

Bước 15.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $3$ , từ khoảng $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - 6 \cos (3) \sin (3) - 6 \cos (3)$

Bước 15.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1.1

Tính $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 6 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 6 \cos (3)$

Bước 15.4.2.1.2

Nhân $- 6$ với $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 5.93995497 \sin (3) - 6 \cos (3)$

Bước 15.4.2.1.3

Tính $\sin (3)$ .

$f' (3) = 5.93995497 \cdot 0.14112 - 6 \cos (3)$

Bước 15.4.2.1.4

Nhân $5.93995497$ với $0.14112$ .

$f' (3) = 0.83824649 - 6 \cos (3)$

Bước 15.4.2.1.5

Tính $\cos (3)$ .

$f' (3) = 0.83824649 - 6 \cdot - 0.98999249$

Bước 15.4.2.1.6

Nhân $- 6$ với $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 0.83824649 + 5.93995497$

Bước 15.4.2.2

Cộng $0.83824649$ và $5.93995497$ .

$f' (3) = 6.77820147$

Bước 15.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.77820147$ .

$6.77820147$

Bước 15.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $7$ , từ khoảng $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = - 6 \cos (7) \sin (7) - 6 \cos (7)$

Bước 15.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.2.1.1

Tính $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 6 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 6 \cos (7)$

Bước 15.5.2.1.2

Nhân $- 6$ với $0.75390225$ .

$f' (7) = - 4.52341352 \sin (7) - 6 \cos (7)$

Bước 15.5.2.1.3

Tính $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 4.52341352 \cdot 0.65698659 - 6 \cos (7)$

Bước 15.5.2.1.4

Nhân $- 4.52341352$ với $0.65698659$ .

$f' (7) = - 2.97182206 - 6 \cos (7)$

Bước 15.5.2.1.5

Tính $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 2.97182206 - 6 \cdot 0.75390225$

Bước 15.5.2.1.6

Nhân $- 6$ với $0.75390225$ .

$f' (7) = - 2.97182206 - 4.52341352$

Bước 15.5.2.2

Trừ $4.52341352$ khỏi $- 2.97182206$ .

$f' (7) = - 7.49523559$

Bước 15.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 7.49523559$ .

$- 7.49523559$

Bước 15.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = - \frac{π}{2}$ , nên $x = - \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương.

$x = - \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 15.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = \frac{π}{2}$ , nên $x = \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương.

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 15.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = \frac{3 π}{2}$ , nên $x = \frac{3 π}{2}$ là một cực đại địa phương.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 15.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

$x = - \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 16