Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) - \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (2 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 1.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \cos (x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Bước 1.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \sin (2 x))$

Bước 1.3.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (x) + 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Bước 2.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 2.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Bước 2.3.7

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + 4 \cos (2 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 \cos (x) + 2 \sin (2 x) = 0$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 5

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Bước 5.2

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) = 0$

Bước 5.3

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Bước 7

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 7.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 7.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 7.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 7.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 7.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 8

Đặt $1 + 2 \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $1 + 2 \sin (x)$ bằng với $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Bước 8.2

Giải $1 + 2 \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (x) = - 1$

Bước 8.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 8.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 8.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 8.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 8.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Bước 8.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{1}{2})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 8.2.5

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 8.2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 8.2.6.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 8.2.7

Đáp án của phương trình $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 \cdot 1 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 11.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 + 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 11.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 + 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 11.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 + 4 \cos (π)$

Bước 11.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 2 + 4 (- \cos (0))$

Bước 11.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 11.1.6

Nhân $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 + 4 \cdot - 1$

Bước 11.1.6.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 2 - 4$

Bước 11.2

Trừ $4$ khỏi $- 2$ .

$- 6$

Bước 12

$x = \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 13.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 13.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 13.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (π)$

Bước 13.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (0)$

Bước 13.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - (- 1 \cdot 1)$

Bước 13.2.1.6

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Bước 13.2.1.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Bước 13.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Bước 13.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3$ .

$y = 3$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 15.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 15.1.3

Nhân $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 15.1.3.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 + 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 15.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 + 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Bước 15.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 + 4 \cos (3 π)$

Bước 15.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 + 4 \cos (π)$

Bước 15.1.6

$2 + 4 (- \cos (0))$

Bước 15.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 + 4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 15.1.8

Nhân $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 + 4 \cdot - 1$

Bước 15.1.8.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$2 - 4$

Bước 15.2

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$- 2$

Bước 16

$x = \frac{3 π}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 17

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 17.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 17.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 17.2.1.3

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 17.2.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 17.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Bước 17.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (3 π)$

Bước 17.2.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (π)$

Bước 17.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (0)$

Bước 17.2.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - (- 1 \cdot 1)$

Bước 17.2.1.8

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Bước 17.2.1.8.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + 1$

Bước 17.2.2

Cộng $- 2$ và $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Bước 17.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (- \frac{π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.2

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 19.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{6})$

Bước 19.1.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 (3)})$

Bước 19.1.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + 4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 3})$

Bước 19.1.6.4

Viết lại biểu thức.

$1 + 4 \cos (\frac{- π}{3})$

Bước 19.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 4 \cos (- \frac{π}{3})$

Bước 19.1.8

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 19.1.9

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.10

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Bước 19.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Bước 19.1.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Bước 19.1.11.3

Viết lại biểu thức.

$1 + 2$

Bước 19.2

Cộng $1$ và $2$ .

$3$

Bước 20

$x = - \frac{π}{6}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{π}{6}$ là cực tiểu địa phương

Bước 21

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (- \frac{π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (- \frac{π}{6}))$

Bước 21.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{6}))$

Bước 21.2.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}))$

Bước 21.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}))$

Bước 21.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{- π}{3})$

Bước 21.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (- \frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.7

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 21.2.1.8

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.9

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Bước 21.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 21.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 21.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 21.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Bước 21.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Bước 21.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Bước 21.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{7 π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (\frac{7 π}{6}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$- 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot - 1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + 4 \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 23.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 (3)})$

Bước 23.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + 4 \cos (2 \frac{7 π}{2 \cdot 3})$

Bước 23.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$1 + 4 \cos (\frac{7 π}{3})$

Bước 23.1.6

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$1 + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Bước 23.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2})$

Bước 23.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$1 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Bước 23.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Bước 23.1.8.3

Viết lại biểu thức.

$1 + 2$

Bước 23.2

Cộng $1$ và $2$ .

$3$

Bước 24

$x = \frac{7 π}{6}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{7 π}{6}$ là cực tiểu địa phương

Bước 25

Tìm giá trị y khi $x = \frac{7 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{7 π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 \sin (\frac{7 π}{6}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 25.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \sin (\frac{π}{6})) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 25.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (- \frac{1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 25.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 25.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{6}) = 2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 25.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{6}))$

Bước 25.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 (3)}))$

Bước 25.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 3}))$

Bước 25.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{7 π}{3})$

Bước 25.2.1.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 25.2.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 - \frac{1}{2}$

Bước 25.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 25.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 25.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 25.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 2 - 1}{2}$

Bước 25.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

Bước 25.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Bước 25.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Bước 26

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 \sin (x) - \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ là một cực đại địa phuơng

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{2})$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 27