Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \frac{32}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{32}{x}$ đối với $x$ là $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 - 32 (- x^{- 2})$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $- 32$ .

$2 + 32 x^{- 2}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.4.2

Kết hợp $32$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{32}{x^{2}} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{32}{x^{2}}$ đối với $x$ là $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.2.10

Nhân $- 2$ với $32$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $- 64$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

Bước 2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

Bước 2.4.2.3

Cộng $- \frac{64}{x^{3}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6