Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} + 12 x - 2$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 12 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.3.3

Nhân $12$ với $1$ .

$12 x^{2} + 12 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{2} + 12 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $12 x^{2} + 12$ và $0$ .

$12 x^{2} + 12$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x^{2} + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $24 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$12 x^{2} + 12 = 0$

Bước 4

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 5

Không có cực trị địa phương

Bước 6