Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 x \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x \ln (x)$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 1.4.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Bước 1.5.2

Nhân $7$ với $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$7 \ln (x) + 7$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 \ln (x) + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 \ln (x)$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 2.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{7}{x}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x \ln (x)$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Bước 4.1.2

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Bước 4.1.4.4

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Bước 4.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Bước 4.1.5.2

Nhân $7$ với $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Bước 4.1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $7 \ln (x) + 7$ .

$7 \ln (x) + 7$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $7 \ln (x) + 7 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Bước 5.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$7 \ln (x) = - 7$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $7 \ln (x) = - 7$ cho $7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $7 \ln (x) = - 7$ cho $7$ .

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia $- 7$ cho $7$ .

$\ln (x) = - 1$

Bước 5.4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Bước 5.5

Viết lại $\ln (x) = - 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Bước 5.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Bước 5.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 6.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{1}{e}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{1}{e}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

Bước 9

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$7 e$

Bước 10

$x = \frac{1}{e}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{1}{e}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{1}{e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{e}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Bước 11.2.2

Viết lại $\frac{1}{e}$ ở dạng $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Bước 11.2.3

Viết lại $\ln (1 e^{- 1})$ ở dạng $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Bước 11.2.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- 1$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Bước 11.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Bước 11.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Bước 11.2.7

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

Bước 11.2.8

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

Bước 11.2.9

Nhân $\frac{7}{e} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.9.1

Kết hợp $\frac{7}{e}$ và $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

Bước 11.2.9.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

Bước 11.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

Bước 11.2.11

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{7}{e}$ .

$y = - \frac{7}{e}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 7 x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13