Giải tích Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle 6x^{15}-9x^3+1}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[6x^{15}\right]+\frac{d}{dx}[-9x^3]+\frac{d}{dx}\left[1\right]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[6x^{15}\right]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-9x^3]}$.

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[90x^{14}\right]+\frac{d}{dx}[-27x^2]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[90x^{14}\right]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-27x^2]}$.

Tìm đạo hàm bậc một.

Đạo hàm bậc nhất của ${\displaystyle f\left(x\right)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$.

Cho đạo hàm bằng ${\displaystyle 0}$.

Đưa ${\displaystyle 9x^2}$ ra ngoài ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$.

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng ${\displaystyle 0}$, toàn bộ biểu thức sẽ bằng ${\displaystyle 0}$.

Đặt ${\displaystyle x^2}$ bằng ${\displaystyle 0}$ và giải tìm ${\displaystyle x}$.

Đặt ${\displaystyle 10x^{12}-3}$ bằng ${\displaystyle 0}$ và giải tìm ${\displaystyle x}$.

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${\displaystyle 9x^2(10x^{12}-3)=0}$ đúng.

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Rút gọn mỗi số hạng.

Cộng ${\displaystyle 0}$ và ${\displaystyle 0}$.

Chia ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị ${\displaystyle x}$ và làm cho đạo hàm bậc nhất ${\displaystyle 0}$ hoặc không xác định.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle -3}$, từ khoảng ${\displaystyle (-\infty ,-\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}})}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle -0.45}$, từ khoảng ${\displaystyle (-\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}},0)}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle 0.45}$, từ khoảng ${\displaystyle (0,\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}})}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle 3}$, từ khoảng ${\displaystyle (\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}},\infty )}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 90x^{14}-27x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh ${\displaystyle x=-\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}}$, nên ${\displaystyle x=-\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}}$ là một cực đại địa phương.

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh ${\displaystyle x=0}$, nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh ${\displaystyle x=\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}}$, nên ${\displaystyle x=\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}}$ là một cực tiểu địa phương.

Đây là những cực trị địa phương cho ${\displaystyle f\left(x\right)=6x^{15}-9x^3+1}$.