Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{3} - 125 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{3} - 125 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 125$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 125 x$ đối với $x$ là $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 x^{2} - 125 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $- 125$ với $1$ .

$15 x^{2} - 125$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 x^{2} - 125$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 125]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $15$ .

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 125)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 125$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 125$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 30 x + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $30 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 30 x$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$15 x^{2} - 125 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{3} - 125 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Bước 4.1.2.3

Nhân $3$ với $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 125$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 125 x$ đối với $x$ là $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} x$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \cdot 1$

Bước 4.1.3.3

Nhân $- 125$ với $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $15 x^{2} - 125$ .

$15 x^{2} - 125$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $15 x^{2} - 125 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$15 x^{2} - 125 = 0$

Bước 5.2

Cộng $125$ cho cả hai vế của phương trình.

$15 x^{2} = 125$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $15 x^{2} = 125$ cho $15$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $15 x^{2} = 125$ cho $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{125}{15}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $125$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $125$ .

$x^{2} = \frac{5 (25)}{15}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $15$ .

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

Bước 5.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = \frac{25}{3}$

Bước 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}$

Bước 5.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{25}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại $\sqrt{\frac{25}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.3

Nhân $\frac{5}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Nhân $\frac{5}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.5.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 5.5.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 5.5.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 5.5.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.5.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.5.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.5.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.5.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 5.5.4.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 5.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 5.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 5.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$30 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $30$ .

$3 (10) \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 10 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9.1.3

Viết lại biểu thức.

$10 (5 \sqrt{3})$

Bước 9.2

Nhân $5$ với $10$ .

$50 \sqrt{3}$

Bước 10

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2.4

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.2.6

Nhân $125$ với $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $375$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $375 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.5

Nhân $5 \frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.5.1

Kết hợp $5$ và $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.5.2

Nhân $125$ với $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.6

Nhân $- 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.6.1

Kết hợp $- 125$ và $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 125 (5 \sqrt{3})}{3}$

Bước 11.2.1.6.2

Nhân $5$ với $- 125$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 625 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

Bước 11.2.2

Để viết $- \frac{625 \sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 11.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Nhân $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Bước 11.2.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Bước 11.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Bước 11.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Nhân $3$ với $- 625$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 1875 \sqrt{3}}{9}$

Bước 11.2.5.2

Trừ $1875 \sqrt{3}$ khỏi $625 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1250 \sqrt{3}}{9}$

Bước 11.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Bước 11.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$30 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ vào tử số.

$30 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 13.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $30$ .

$3 (10) \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 13.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 10 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 13.1.4

Viết lại biểu thức.

$10 (- 5 \sqrt{3})$

Bước 13.2

Nhân $- 5$ với $10$ .

$- 50 \sqrt{3}$

Bước 14

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ là cực đại địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3.4

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.3.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.3.6

Nhân $125$ với $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $375$ và $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $375 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.6

Nhân $5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - 5 \frac{125 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.6.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.6.3

Nhân $125$ với $- 5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{(625) \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.8

Nhân $- 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.8.1

Nhân $- 1$ với $- 125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + 125 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Bước 15.2.1.8.2

Kết hợp $125$ và $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 (5 \sqrt{3})}{3}$

Bước 15.2.1.8.3

Nhân $5$ với $125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

Bước 15.2.2

Để viết $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 15.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.3.1

Nhân $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Bước 15.2.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Bước 15.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Bước 15.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.1

Nhân $3$ với $625$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 1875 \sqrt{3}}{9}$

Bước 15.2.5.2

Cộng $- 625 \sqrt{3}$ và $1875 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Bước 15.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Bước 16

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 5 x^{3} - 125 x$ .

$(\frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ là một cực tiểu địa phương

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{3}, \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 17