Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

Bước 1.5

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 10 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 2.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

Bước 2.13.2

Nhân $- 1$ với $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Bước 5

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 5.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 5.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 6

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 6.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 6.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.3

Nhân $- 10$ với $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 9.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

Bước 9.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 + 10 \cdot 1$

Bước 9.1.6

Nhân $10$ với $1$ .

$0 + 10$

Bước 9.2

Cộng $0$ và $10$ .

$10$

Bước 10

$x = \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Bước 11.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

Bước 11.2.3

Nhân $5$ với $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Bước 11.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 13.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 13.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 13.1.4

Nhân $- 10$ với $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 13.1.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Bước 13.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Bước 13.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

Bước 13.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Bước 13.1.9

Nhân $10$ với $1$ .

$0 + 10$

Bước 13.2

Cộng $0$ và $10$ .

$10$

Bước 14

$x = \frac{3 π}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 15.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Bước 15.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

Bước 15.2.4

Nhân $5$ với $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Bước 15.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

Bước 17.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

Bước 17.1.3

Nhân $- 10$ với $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Bước 17.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Bước 17.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Bước 17.1.6

Nhân $10$ với $0$ .

$- 10 + 0$

Bước 17.2

Cộng $- 10$ và $0$ .

$- 10$

Bước 18

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 19

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

Bước 19.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

Bước 19.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (0) = 5 \cdot 1$

Bước 19.2.3

Nhân $5$ với $1$ .

$f (0) = 5$

Bước 19.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$y = 5$

Bước 20

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

Bước 21

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Bước 21.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Bước 21.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Bước 21.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

Bước 21.1.5

Nhân $- 10$ với $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

Bước 21.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Bước 21.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Bước 21.1.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Bước 21.1.9

Nhân $10$ với $0$ .

$- 10 + 0$

Bước 21.2

Cộng $- 10$ và $0$ .

$- 10$

Bước 22

$x = π$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = π$ là cực đại địa phương

Bước 23

Tìm giá trị y khi $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Thay thế biến $x$ bằng $π$ trong biểu thức.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

Bước 23.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

Bước 23.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Bước 23.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

Bước 23.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (π) = 5 \cdot 1$

Bước 23.2.5

Nhân $5$ với $1$ .

$f (π) = 5$

Bước 23.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$y = 5$

Bước 24

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(0, 5)$ là một cực đại địa phuơng

$(π, 5)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 25