Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Bước 1.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$f' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Bước 1.3.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x \sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.2.5

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - \sin (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - \sin (x)$

Bước 2.4.2

Trừ $\sin (x)$ khỏi $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x \cos (x) - 2 \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x \cos (x) - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 3.2.2

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 3.2.5

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$f''' (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f''' (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \cos (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f''' (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 2 \cos (x)$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 2 \cos (x)$

Bước 3.4.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f''' (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 2 \cos (x)$

Bước 3.4.2.3

Trừ $2 \cos (x)$ khỏi $- \cos (x)$ .

$f''' (x) = x \sin (x) - 3 \cos (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \sin (x) - 3 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \cos (x))$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

$f^{4} (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 \cos (x))$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 \cos (x))$

Bước 4.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 \cos (x))$

Bước 4.2.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 3 \cos (x))$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + \sin (x) - 3 (- \sin (x))$

Bước 4.3.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + \sin (x) + 3 \sin (x)$

Bước 4.4

Cộng $\sin (x)$ và $3 \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = x \cos (x) + 4 \sin (x)$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $x \cos (x) + 4 \sin (x)$ .

$x \cos (x) + 4 \sin (x)$