Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(x - 12)}^{2}$ ở dạng $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Bước 1.2

Khai triển $(x - 12) (x - 12)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Bước 1.3.1.2

Di chuyển $- 12$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Bước 1.3.1.3

Nhân $- 12$ với $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Bước 1.3.2

Trừ $12 x$ khỏi $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 24 x + 144$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.3

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.5

Nhân $- 24$ với $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.6

Vì $144$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $144$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.7

Cộng $2 x - 24$ và $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Bước 1.5.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Bước 1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Bước 1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.3

Di chuyển $- 24$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.4

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.4.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.4.3

Cộng $3$ và $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.5

Nhân $- 24$ với $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.6

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.6.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.6.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.6.3

Cộng $3$ và $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 1.6.4.7

Nhân $4$ với $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 1.6.4.8

Cộng $2 x^{5}$ và $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 1.6.4.9

Trừ $96 x^{4}$ khỏi $- 24 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{5}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.2.3

Nhân $5$ với $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 120$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 120 x^{4}$ đối với $x$ là $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $- 120$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $576$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $576 x^{3}$ đối với $x$ là $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

Bước 2.4.3

Nhân $3$ với $576$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại ${(x - 12)}^{2}$ ở dạng $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Bước 4.1.2

Khai triển $(x - 12) (x - 12)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Bước 4.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Bước 4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Bước 4.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Bước 4.1.3.1.2

Di chuyển $- 12$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Bước 4.1.3.1.3

Nhân $- 12$ với $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Bước 4.1.3.2

Trừ $12 x$ khỏi $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Bước 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 24 x + 144$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.3

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.5

Nhân $- 24$ với $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.6

Vì $144$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $144$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.7

Cộng $2 x - 24$ và $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 4.1.5.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Bước 4.1.5.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Bước 4.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Bước 4.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Bước 4.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.3

Di chuyển $- 24$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.4

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.4.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.4.3

Cộng $3$ và $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.5

Nhân $- 24$ với $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.6

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.6.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.6.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.4.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.6.3

Cộng $3$ và $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.7

Nhân $4$ với $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.8

Cộng $2 x^{5}$ và $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 4.1.6.4.9

Trừ $96 x^{4}$ khỏi $- 24 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Bước 5.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $6 x^{3}$ ra ngoài $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $6 x^{3}$ ra ngoài $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Bước 5.2.1.2

Đưa $6 x^{3}$ ra ngoài $- 120 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

Bước 5.2.1.3

Đưa $6 x^{3}$ ra ngoài $576 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Bước 5.2.1.4

Đưa $6 x^{3}$ ra ngoài $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Bước 5.2.1.5

Đưa $6 x^{3}$ ra ngoài $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

Bước 5.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 20 x + 96$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $96$ và tổng của chúng là $- 20$ .

$- 12, - 8$

Bước 5.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

Bước 5.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

Bước 5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

Bước 5.4

Đặt $x^{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt $x^{3}$ bằng với $0$ .

$x^{3} = 0$

Bước 5.4.2

Giải $x^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 5.4.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 5.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 5.5

Đặt $x - 12$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đặt $x - 12$ bằng với $0$ .

$x - 12 = 0$

Bước 5.5.2

Cộng $12$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 12$

Bước 5.6

Đặt $x - 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đặt $x - 8$ bằng với $0$ .

$x - 8 = 0$

Bước 5.6.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 8$

Bước 5.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ đúng.

$x = 0, 12, 8$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, 12, 8$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Bước 9.1.2

Nhân $30$ với $0$ .

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Bước 9.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Bước 9.1.4

Nhân $- 480$ với $0$ .

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Bước 9.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

Bước 9.1.6

Nhân $1728$ với $0$ .

$0 + 0 + 0$

Bước 9.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 0$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Bước 10.2.2.1.2

Nhân $6$ với $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Bước 10.2.2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

Bước 10.2.2.1.4

Nhân $- 120$ với $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

Bước 10.2.2.1.5

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

Bước 10.2.2.1.6

Nhân $576$ với $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Trừ $1920$ khỏi $- 192$ .

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

Bước 10.2.2.2.2

Trừ $4608$ khỏi $- 2112$ .

$f' (- 2) = - 6720$

Bước 10.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6720$ .

$- 6720$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(0, 8)$ trong đạo hàm đầu tiên $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Bước 10.3.2.1.2

Nhân $6$ với $1024$ .

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Bước 10.3.2.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

Bước 10.3.2.1.4

Nhân $- 120$ với $256$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

Bước 10.3.2.1.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

Bước 10.3.2.1.6

Nhân $576$ với $64$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Trừ $30720$ khỏi $6144$ .

$f' (4) = - 24576 + 36864$

Bước 10.3.2.2.2

Cộng $- 24576$ và $36864$ .

$f' (4) = 12288$

Bước 10.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $12288$ .

$12288$

Bước 10.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $10$ , từ khoảng $(8, 12)$ trong đạo hàm đầu tiên $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $10$ trong biểu thức.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Bước 10.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $5$ .

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Bước 10.4.2.1.2

Nhân $6$ với $100000$ .

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Bước 10.4.2.1.3

Nâng $10$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

Bước 10.4.2.1.4

Nhân $- 120$ với $10000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

Bước 10.4.2.1.5

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

Bước 10.4.2.1.6

Nhân $576$ với $1000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

Bước 10.4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.2.1

Trừ $1200000$ khỏi $600000$ .

$f' (10) = - 600000 + 576000$

Bước 10.4.2.2.2

Cộng $- 600000$ và $576000$ .

$f' (10) = - 24000$

Bước 10.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 24000$ .

$- 24000$

Bước 10.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $14$ , từ khoảng $(12, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $14$ trong biểu thức.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Bước 10.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1.1

Nâng $14$ lên lũy thừa $5$ .

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Bước 10.5.2.1.2

Nhân $6$ với $537824$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Bước 10.5.2.1.3

Nâng $14$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

Bước 10.5.2.1.4

Nhân $- 120$ với $38416$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

Bước 10.5.2.1.5

Nâng $14$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

Bước 10.5.2.1.6

Nhân $576$ với $2744$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

Bước 10.5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Trừ $4609920$ khỏi $3226944$ .

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

Bước 10.5.2.2.2

Cộng $- 1382976$ và $1580544$ .

$f' (14) = 197568$

Bước 10.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $197568$ .

$197568$

Bước 10.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 10.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 8$ , nên $x = 8$ là một cực đại địa phương.

$x = 8$ là cực đại địa phương

Bước 10.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 12$ , nên $x = 12$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 12$ là cực tiểu địa phương

Bước 10.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ .

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

$x = 8$ là cực đại địa phương

$x = 12$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

$x = 8$ là cực đại địa phương

$x = 12$ là cực tiểu địa phương

Bước 11