Giải tích Ví dụ

$f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$ .

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.1.2

Vì $18$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $18$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 1.4.2

Vì $36 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $36 y$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Bước 1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $- 2 x + y$ và $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Bước 1.5.3

Cộng $- 2 x + y$ và $0$ .

$- 2 x + y$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2.2.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 2 x + y = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.1.2

Vì $18$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $18$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Bước 4.1.4.2

Vì $36 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $36 y$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Bước 4.1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Bước 4.1.5.2

Cộng $- 2 x + y$ và $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Bước 4.1.5.3

Cộng $- 2 x + y$ và $0$ .

$f' (x) = - 2 x + y$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 x + y$ .

$- 2 x + y$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 2 x + y = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 2 x + y = 0$

Bước 5.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x = - y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = - y$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = - y$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- y}{- 2}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{y}{2}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{y}{2}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{y}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2$

Bước 9

$x = \frac{y}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{y}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 10

Tìm giá trị y khi $x = \frac{y}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{y}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - {(\frac{y}{2})}^{2} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{2^{2}} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.1.3

Nhân $(\frac{y}{2}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.3.1

Kết hợp $\frac{y}{2}$ và $y$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.1.3.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.1.3.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.2

Để viết $\frac{y^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân $\frac{y^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.5

Cộng $- y^{2}$ và $y^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + 2 \cdot y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.5.2

Cộng $- y^{2}$ và $2 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Bước 10.2.6

Để viết $- y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 36 y$

Bước 10.2.7

Kết hợp $- y^{2}$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Bước 10.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Bước 10.2.9

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.9.1

Viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Bước 10.2.9.2

Nhân $\frac{18}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Bước 10.2.9.3

Nhân $\frac{18}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Bước 10.2.9.4

Viết $36 y$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1}$

Bước 10.2.9.5

Nhân $\frac{36 y}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 10.2.9.6

Nhân $\frac{36 y}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y \cdot 4}{4}$

Bước 10.2.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.10.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Bước 10.2.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.10.2.1

Nhân $18$ với $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Bước 10.2.10.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 36 y \cdot 4}{4}$

Bước 10.2.10.2.3

Nhân $4$ với $36$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 144 y}{4}$

Bước 10.2.10.3

Trừ $4 y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Bước 10.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $72 - 3 y^{2} + 144 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.11.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $72$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Bước 10.2.11.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 144 y}{4}$

Bước 10.2.11.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $144 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Bước 10.2.11.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (24) + 3 (- y^{2})$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Bước 10.2.11.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2} + 48 y)}{4}$

Bước 10.2.11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- y^{2} + 48 y + 24)}{4}$

Bước 10.2.12

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.12.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) + 48 y + 24)}{4}$

Bước 10.2.12.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $48 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) - (- 48 y) + 24)}{4}$

Bước 10.2.12.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y^{2}) - (- 48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) + 24)}{4}$

Bước 10.2.12.4

Viết lại $24$ ở dạng $- 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) - 1 \cdot - 24)}{4}$

Bước 10.2.12.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y^{2} - 48 y) - 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Bước 10.2.12.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.12.6.1

Viết lại $- (y^{2} - 48 y - 24)$ ở dạng $- 1 (y^{2} - 48 y - 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- 1 (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Bước 10.2.12.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{y}{2}) = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Bước 10.2.13

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$ .

$y = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Bước 11

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ .

$(\frac{y}{2}, - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 12