Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.8.3

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.8.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.11

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.12.2

Nhân $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ với $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Bước 1.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

Bước 1.15

Kết hợp $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1.15.2

Để viết $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.15.3

Kết hợp $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.16

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.17

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.17.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.17.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.17.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.17.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.18

Rút gọn $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.2.1.2

Nhân $- 2$ với $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.2.2

Cộng $x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.3

Đưa $x$ ra ngoài $7 x^{2} - 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.19.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x (7 x - 12)$ và $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Bước 2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 7 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \frac{d}{d x} (7 x - 12) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x - 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.4

Nhân $7$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.5

Vì $- 12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 12$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + 0) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Cộng $7$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \cdot 7 + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.6.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 \cdot x + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + (7 x - 12) \cdot 1) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.8.1

Nhân $7 x - 12$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + 7 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.5.8.2

Cộng $7 x$ và $7 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.10.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.11.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.11.3

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.11.4

Kết hợp $\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.14

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.15.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.15.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x) + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.3

Di chuyển $- 12$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5

Nhân $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.5.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 (2 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5.3

Nhân $2$ với $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5.4

Kết hợp $\frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 (x \cdot x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 2.16.1.5.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.5.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ vào tử số.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.6.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot (3 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.6.5

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 4}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.7

Kết hợp $\frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ và $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.8

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.10

Trừ $\frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ khỏi $14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.10.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.10.2

Để viết $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.10.3

Kết hợp $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.10.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.11

Để viết $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.12

Kết hợp $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.14.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.2

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.14.2.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.2.5

Chia $3$ cho $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x (x - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.3

Rút gọn $7 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

Bước 2.16.1.14.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.14.5.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.6

Nhân $- 2$ với $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} - 14 x) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x^{2} \cdot 3 - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.8

Nhân $3$ với $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.9

Nhân $3$ với $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.10

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.11

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.14.11.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.11.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.11.5

Chia $3$ cho $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.12

Rút gọn $- 6 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.13

Nhân $- 6$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 (x - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x - 18 \cdot - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.15

Nhân $- 18$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.16

Trừ $7 x^{2}$ khỏi $21 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 42 x - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.17

Trừ $18 x$ khỏi $- 42 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.18

Đưa $2$ ra ngoài $14 x^{2} - 60 x + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.14.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.18.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 60 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.18.3

Đưa $2$ ra ngoài $36$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.18.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.18.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.14.19

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.15

Để viết $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.16

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.16.1

Nhân $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.16.2

Sắp xếp lại các thừa số của ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.18.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1.18.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 x \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.18.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.18.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 6 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.1.18.3

Cộng $- 30 x$ và $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.2.1

Viết lại $\frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.2.2

Nhân $\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Bước 2.16.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2.16.2.4

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.2.4.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{4}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 2.16.2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 2.16.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Bước 2.16.2.4.4

Cộng $4$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 4.1.2

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.8.3

Di chuyển ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.8.4

Kết hợp $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.11

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.12.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.12.2

Nhân $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ với $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Bước 4.1.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

Bước 4.1.15

Kết hợp $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ và $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.15.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.1.15.2

Để viết $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.15.3

Kết hợp $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.15.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.16

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.17

Nhân ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.17.1

Di chuyển ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.17.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.17.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.17.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.17.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.18

Rút gọn $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.19.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.19.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.2.1.2

Nhân $- 2$ với $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.2.2

Cộng $x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.3

Đưa $x$ ra ngoài $7 x^{2} - 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.19.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.1.19.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$x (7 x - 12) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$7 x - 12 = 0$

Bước 5.3.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5.3.3

Đặt $7 x - 12$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đặt $7 x - 12$ bằng với $0$ .

$7 x - 12 = 0$

Bước 5.3.3.2

Giải $7 x - 12 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Cộng $12$ cho cả hai vế của phương trình.

$7 x = 12$

Bước 5.3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $7 x = 12$ cho $7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $7 x = 12$ cho $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Bước 5.3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Bước 5.3.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{12}{7}$

Bước 5.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (7 x - 12) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{12}{7}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$

Bước 6.2

Đặt mẫu số trong $\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Bước 6.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 {(x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Bước 6.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 6.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 6.3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 6.3.3.1.2.1.2

Chia ${(x - 2)}^{2}$ cho $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{27}$

Bước 6.3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $27$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 6.3.3.2

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 6.3.3.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, \frac{12}{7}, 2$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4 (7 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4 (7 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.1.2

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{4 (0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.1.3

Nhân $- 24$ với $0$ .

$\frac{4 (0 + 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.1.4

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{4 (0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.1.5

Cộng $0$ và $18$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.2.2

Nhân $4$ với $18$ .

$\frac{72}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.2.3

Đưa $9$ ra ngoài $72$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 ({(- 2)}^{\frac{5}{3}})}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 9.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8}{{(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{2} \sqrt[3]{(0) - 2}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{(0) - 2}$

Bước 11.2.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 2}$

Bước 11.2.3

Viết lại $- 2$ ở dạng ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 1 \cdot 2}$

Bước 11.2.3.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Bước 11.2.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (0) = 0 (- 1 \sqrt[3]{2})$

Bước 11.2.5

Viết lại $- 1 \sqrt[3]{2}$ ở dạng $- \sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0 (- \sqrt[3]{2})$

Bước 11.2.6

Nhân $0 (- \sqrt[3]{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.6.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{2}$

Bước 11.2.6.2

Nhân $0$ với $\sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0$

Bước 11.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{12}{7}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4 (7 {(\frac{12}{7})}^{2} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {((\frac{12}{7}) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (7 \frac{12^{2}}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.2

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 (7 (\frac{144}{49}) - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Đưa $7$ ra ngoài $49$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 (7)} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 \cdot 7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.5

Nhân $- 24 (\frac{12}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.5.1

Kết hợp $- 24$ và $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 24 \cdot 12}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.5.2

Nhân $- 24$ với $12$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - \frac{288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 (\frac{144 - 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.8

Trừ $288$ khỏi $144$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.9

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18 \cdot \frac{7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.10

Kết hợp $18$ và $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + \frac{18 \cdot 7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \frac{- 144 + 18 \cdot 7}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.12.1

Nhân $18$ với $7$ .

$\frac{4 \frac{- 144 + 126}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.12.2

Cộng $- 144$ và $126$ .

$\frac{4 (\frac{- 18}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.14

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.14.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{- (4 (\frac{18}{7}))}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.14.2

Kết hợp $4$ và $\frac{18}{7}$ .

$\frac{- \frac{4 \cdot 18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.1.14.3

Nhân $4$ với $18$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Nhân $- 2$ với $7$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 14}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2.4.2

Trừ $14$ khỏi $12$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{- 2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(- \frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}})}$

Bước 13.2.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Bước 13.2.7

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Bước 13.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Bước 13.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Bước 13.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Bước 13.2.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Bước 13.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{- 9 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Bước 13.3.2

Kết hợp $- 9$ và $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{\frac{- 9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Bước 13.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{72}{7}}{- \frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Bước 13.4.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{72}{7}}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Bước 13.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{72}{7} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.6

Kết hợp.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7 (9 \cdot 2^{\frac{5}{3}})}$

Bước 13.7

Di chuyển $7^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8

Nhân $7^{\frac{5}{3}}$ với $7^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1

Di chuyển $7^{- 1}$ .

$\frac{72 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.8.6.2

Cộng $- 3$ và $5$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.9

Đưa $9$ ra ngoài $72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.10.1

Đưa $9$ ra ngoài $9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 (2^{\frac{5}{3}})}$

Bước 13.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 13.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14

$x = \frac{12}{7}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{12}{7}$ là cực tiểu địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = \frac{12}{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{12}{7}$ trong biểu thức.

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{2} \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{2}}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Bước 15.2.2

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Bước 15.2.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Bước 15.2.4

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}}$

Bước 15.2.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}}$

Bước 15.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 2 \cdot 7}{7}}$

Bước 15.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.7.1

Nhân $- 2$ với $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 14}{7}}$

Bước 15.2.7.2

Trừ $14$ khỏi $12$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 2}{7}}$

Bước 15.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{- \frac{2}{7}}$

Bước 15.2.9

Viết lại $- \frac{2}{7}$ ở dạng ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.9.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{2}{7})}$

Bước 15.2.9.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{2}{7})}$

Bước 15.2.10

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

Bước 15.2.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

Bước 15.2.12

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}})$

Bước 15.2.13

Nhân $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}))$

Bước 15.2.14

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.14.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

Bước 15.2.14.2

Nâng $\sqrt[3]{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

Bước 15.2.14.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}})$

Bước 15.2.14.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}})$

Bước 15.2.14.5

Viết lại ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ ở dạng $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.14.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Bước 15.2.14.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Bước 15.2.14.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

Bước 15.2.14.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.14.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

Bước 15.2.14.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

Bước 15.2.14.5.5

Tính số mũ.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

Bước 15.2.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.15.1

Viết lại ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7})$

Bước 15.2.15.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{49}}{7})$

Bước 15.2.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.16.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 49}}{7})$

Bước 15.2.16.2

Nhân $2$ với $49$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$

Bước 15.2.17

Nhân $\frac{144}{49} (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.17.1

Nhân $\frac{144}{49}$ với $\frac{\sqrt[3]{98}}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{49 \cdot 7}$

Bước 15.2.17.2

Nhân $49$ với $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

Bước 15.2.18

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$ .

$y = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Bước 17.1.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 17.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Bước 17.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Bước 17.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{5}}$

Bước 17.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0}$

Bước 17.3.2

Nhân $9$ với $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

Bước 17.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

Bước 17.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 18

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 18.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{(- 2) (7 (- 2) - 12)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.1.1

Nhân $7$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 (- 14 - 12)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.2.2.1.2

Trừ $12$ khỏi $- 14$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.2.2.2.2

Nhân $- 2$ với $- 26$ .

$f' (- 2) = \frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(0, \frac{12}{7})$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{(1) (7 (1) - 12)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.1

Nhân $7 (1) - 12$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(1 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.3.2.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.3.2.2.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Bước 18.3.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Bước 18.3.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{2}}$

Bước 18.3.2.2.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 \cdot 1}$

Bước 18.3.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.3.1

Nhân $7$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{7 - 12}{3 \cdot 1}$

Bước 18.3.2.3.2

Trừ $12$ khỏi $7$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3 \cdot 1}$

Bước 18.3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.2.4.1

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3}$

Bước 18.3.2.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (1) = - \frac{5}{3}$

Bước 18.3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Bước 18.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1.86$ , từ khoảng $(\frac{12}{7}, 2)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.86$ trong biểu thức.

$f' (1.86) = \frac{(1.86) (7 (1.86) - 12)}{3 {((1.86) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.2.1

Nhân $1.86$ với $7 (1.86) - 12$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(1.86 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.4.2.2

Trừ $2$ khỏi $1.86$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(2, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = \frac{(4) (7 (4) - 12)}{3 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.2.1.1

Nhân $7$ với $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (28 - 12)}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.5.2.1.2

Trừ $12$ khỏi $28$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.5.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.5.2.2.2

Nhân $4$ với $16$ .

$f' (4) = \frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 18.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 18.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = \frac{12}{7}$ , nên $x = \frac{12}{7}$ là một cực tiểu địa phương.

$x = \frac{12}{7}$ là cực tiểu địa phương

Bước 18.8

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 2$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 18.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$ .

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = \frac{12}{7}$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = \frac{12}{7}$ là cực tiểu địa phương

Bước 19