Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[6, 16]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = x + \frac{96}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{96}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[6, 16]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Bước 7

Vì $96$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $96$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $16$ và tại $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Bước 9.1.2

Tính $\ln (| x |)$ tại $16$ và tại $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.3.2.4

Chia $128$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.5

Nhân $36$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.6

Kết hợp $- 36$ và $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 36$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.7.2.4

Chia $- 18$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.1.3.8

Trừ $18$ khỏi $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Bước 9.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $16$ là $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

Bước 9.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $6$ là $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

Bước 9.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

Bước 9.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Bước 9.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Bước 9.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Bước 10

Trừ $6$ khỏi $16$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Bước 11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn $96 \ln (\frac{8}{3})$ bằng cách di chuyển $96$ trong logarit.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

Bước 11.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $110$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Bước 12.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Bước 13

Rút gọn $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{10}$ trong logarit.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

Bước 14

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.2

Nhân các số mũ trong ${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.2.3

Kết hợp $48$ và $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Bước 14.3

Nhân các số mũ trong ${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

Bước 14.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Bước 14.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Bước 14.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

Bước 14.3.3

Kết hợp $48$ và $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

Bước 15