Giải tích Ví dụ

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Bước 1

Viết $y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Bước 2.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 2.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 2.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 2.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Bước 2.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.11

Cộng $1$ và $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.12

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.13

Nhân $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ với $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.14

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.15

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.16

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.17

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.5.18.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 2.6

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Bước 2.6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Bước 2.6.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Bước 2.6.8

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Bước 2.7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Bước 2.7.2.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Bước 2.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.2.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.8

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.12.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.12.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.14

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.15

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.16

Nhân $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ với $1$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.17

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.18

Kết hợp $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.19

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.20

Nhân ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ với ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.20.1

Di chuyển ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.20.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.20.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.20.4

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.21

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.22

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.3.23

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

Bước 5.1.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Bước 5.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Bước 5.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 5.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 5.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 5.1.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 5.1.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Bước 5.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Bước 5.1.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5

Tính $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.11

Cộng $1$ và $0$ .

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.12

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.13

Nhân $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ với $1$ .

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.14

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.15

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.16

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.17

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.18.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.5.18.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Bước 5.1.6

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Bước 5.1.6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.1.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.1.6.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.1.6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.1.6.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

Bước 5.1.6.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

Bước 5.1.6.8

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

Bước 5.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Bước 5.1.7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.2.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

Bước 5.1.7.2.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

Bước 5.1.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

Bước 6.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = 0, 2$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

Bước 7.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

Bước 7.2

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Bước 7.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Rút gọn ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x - 1 = 0^{3}$

Bước 7.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 7.3.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, 2, 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.1.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 10.1.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 10.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 10.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

Bước 10.1.1.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Bước 10.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Bước 10.2

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 10.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 10.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Bước 10.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Bước 10.5.2

Trừ $4$ khỏi $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Bước 10.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16}{3}$

Bước 11

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.6

Nhân $6$ với $1$ .

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.7

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

Bước 12.2.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

Bước 12.2.1.9

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (0) = 6 - 2$

Bước 12.2.2

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$f (0) = 4$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$y = 4$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 2$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

Bước 14.1.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Bước 14.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3}$

Bước 14.2

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 14.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Bước 14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Bước 14.5.2

Trừ $4$ khỏi $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Bước 14.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16}{3}$

Bước 15

$x = 2$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 2$ là cực đại địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Bước 16.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Bước 16.2.1.3

Nhân $6$ với $1$ .

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

Bước 16.2.1.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

Bước 16.2.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

Bước 16.2.1.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (2) = 6 - 2$

Bước 16.2.2

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$f (2) = 4$

Bước 16.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$y = 4$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.1.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 18.1.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 18.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Bước 18.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

Bước 18.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

Bước 18.3.2

Nhân $3$ với $0$ .

$- 4 - \frac{4}{0}$

Bước 18.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- 4 - \frac{4}{0}$

Bước 18.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 19

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 19.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.2.1.1

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.2.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.2.2.2

Cộng $8$ và $4$ .

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0.5$ , từ khoảng $(0, 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.5$ trong biểu thức.

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.2.1.1

Nhân $- 4$ với $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.3.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $0.5$ .

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.3.2.2

Cộng $- 2$ và $4$ .

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1.5$ , từ khoảng $(1, 2)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.5$ trong biểu thức.

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.1.1

Nhân $- 4$ với $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.4.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.1.2.1

Trừ $1$ khỏi $1.5$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.4.2.1.2.2

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

Bước 19.4.2.1.3

Chia $4$ cho $0.79370052$ .

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

Bước 19.4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.2.2.1

Cộng $- 6$ và $5.03968419$ .

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

Bước 19.4.2.2.2

Cộng $- 0.9603158$ và $4$ .

$f' (1.5) = 3.03968419$

Bước 19.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3.03968419$ .

$3.03968419$

Bước 19.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(2, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.2.1.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.5.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

Bước 19.5.2.2

Cộng $- 16$ và $4$ .

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

Bước 19.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 19.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 1$ , nên $x = 1$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 19.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 2$ , nên $x = 2$ là một cực đại địa phương.

$x = 2$ là cực đại địa phương

Bước 19.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

$x = 2$ là cực đại địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

$x = 2$ là cực đại địa phương

Bước 20