Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} - x^{2}$

Bước 1

Viết $y = x^{3} - x^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{3} - x^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

Bước 3.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Bước 5.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Bước 5.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - (2 x)$

Bước 5.1.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} - 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 x^{2} - 2 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Bước 6.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 2 x = 0$

Bước 6.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 2 = 0$

Bước 6.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$x (3 x - 2) = 0$

Bước 6.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Bước 6.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.5

Đặt $3 x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đặt $3 x - 2$ bằng với $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Bước 6.5.2

Giải $3 x - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 2$

Bước 6.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 2$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Bước 6.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Bước 6.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Bước 6.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (3 x - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$6 (0) - 2$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $6$ với $0$ .

$0 - 2$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 11

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Bước 12.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Bước 12.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 12.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{2}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$6 (\frac{2}{3}) - 2$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 (2) \frac{2}{3} - 2$

Bước 14.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3} - 2$

Bước 14.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2 - 2$

Bước 14.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 - 2$

Bước 14.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$2$

Bước 15

$x = \frac{2}{3}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{2}{3}$ là cực tiểu địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = \frac{2}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{2}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2^{3}}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Bước 16.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Bước 16.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Bước 16.2.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Bước 16.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{3^{2}}$

Bước 16.2.1.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9}$

Bước 16.2.2

Để viết $- \frac{4}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 16.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $27$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.3.1

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Bước 16.2.3.2

Nhân $9$ với $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27}$

Bước 16.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 4 \cdot 3}{27}$

Bước 16.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.5.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 12}{27}$

Bước 16.2.5.2

Trừ $12$ khỏi $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4}{27}$

Bước 16.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{27}$

Bước 16.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{4}{27}$ .

$y = - \frac{4}{27}$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{3} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{2}{3}, - \frac{4}{27})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 18