Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Bước 1.2.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 2.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 2.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Bước 2.2.7

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Bước 2.3

Trừ $4 \cos (2 x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

Bước 5

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (2 x) = - 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (2 x) = - 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 5.2.1.2

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Bước 6

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $\frac{π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Bước 8.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Bước 9

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Bước 10

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 10.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 10.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 10.1.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 10.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Bước 10.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 10.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 10.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Bước 10.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 10.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Bước 10.2.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Bước 11

Đáp án của phương trình $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{12}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Bước 13.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Bước 13.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

Bước 13.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 13.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 13.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 13.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \sqrt{3}$

Bước 14

$x = \frac{π}{12}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{12}$ là cực đại địa phương

Bước 15

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{12}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Bước 15.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Bước 15.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Bước 15.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Bước 15.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 15.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{12}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Bước 17.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Bước 17.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

Bước 17.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Bước 17.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 17.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.4.4

Viết lại biểu thức.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Bước 17.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Bước 18

$x = \frac{5 π}{12}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{12}$ là cực tiểu địa phương

Bước 19

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{12}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Bước 19.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Bước 19.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Bước 19.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Bước 19.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Bước 19.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 19.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 20

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 21