Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 2.3.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$2 \cos (2 x) = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 4.2.1.2

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Bước 5

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x = \arccos (0)$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 7.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 7.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 8

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 9.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 9.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 9.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 9.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 9.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 9.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 10

Đáp án của phương trình $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Bước 12.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 12.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 12.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 13

$x = \frac{π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 14

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Bước 14.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Bước 14.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Bước 14.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 14.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Bước 14.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Bước 16.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Bước 16.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 16.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Bước 16.4

Nhân $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Bước 16.4.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$4$

Bước 17

$x = \frac{3 π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 18

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Bước 18.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Bước 18.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Bước 18.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 18.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Bước 18.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Bước 18.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

Bước 18.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 19

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, 1)$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ là một cực tiểu địa phương

Bước 20