Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \sqrt{2 x + 1}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x + 1}$ ở dạng ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 16

Nhân ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 17

Để viết ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Nhân ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Rút gọn ${(2 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x + 2 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Cộng $x$ và $2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$