Giải tích Ví dụ

$f (x) = x {(3 x - 9)}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(3 x - 9)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{3}] + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 3 x - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 9$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.5

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.6.2

Nhân $3$ với $3$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \cdot 1$

Bước 3.8

Nhân ${(3 x - 9)}^{3}$ với $1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa ${(3 x - 9)}^{2}$ ra ngoài $x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa ${(3 x - 9)}^{2}$ ra ngoài $x (9 {(3 x - 9)}^{2})$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{3}$

Bước 4.1.2

Đưa ${(3 x - 9)}^{2}$ ra ngoài ${(3 x - 9)}^{3}$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$

Bước 4.1.3

Đưa ${(3 x - 9)}^{2}$ ra ngoài ${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9) + 3 x - 9)$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (9 \cdot x + 3 x - 9)$

Bước 4.2.2

Cộng $9 x$ và $3 x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (12 x - 9)$