Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x^{5} - e^{2 x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{5} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{5} - e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{5} - e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} - e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Bước 2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{2 x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

Bước 4.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$ .

$(5 x^{4} - 2 e^{2 x}) \frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$

Bước 5.2

Nhân $5 x^{4} - 2 e^{2 x}$ với $\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$ .

$\frac{5 x^{4} - 2 e^{2 x}}{x^{5} - e^{2 x}}$