Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (\tan (2 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \tan (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (2 x)$ .

$\cos (\tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \cdot (\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.2

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{2}{\cos^{2} (2 x)}$ và $\cos (\tan (2 x))$ .

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos^{2} (2 x)}$

Bước 4.7

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x) \cos (2 x)}$

Bước 4.8

Tách các phân số.

$\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$

Bước 4.9

Viết lại $\frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$ ở dạng một tích.

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

Bước 4.10

Viết $\cos (\tan (2 x))$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\frac{\cos (\tan (2 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Bước 4.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Chia $\cos (\tan (2 x))$ cho $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

Bước 4.11.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Bước 4.12

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Bước 4.13

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Bước 4.14

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Bước 4.15

Nhân $2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.15.2

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.15.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (2 x))$

Bước 4.15.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$