Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 x + 7 \sqrt{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x + 7 \sqrt{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Bước 2.3

Nhân $8$ với $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 + 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 + 7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.10

Kết hợp $7$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 + \frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$