Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Bước 2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x^{3}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 3.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

Bước 3.8

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 4.2

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$