Giải tích Ví dụ

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{b}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x + a}{b}$ đối với $x$ là $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{b}$ với $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + a$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Bước 2.5

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Bước 2.6.2

Nhân $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ với $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $b$ với $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $b$ và $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $b$ và $b^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $b$ ra ngoài $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Bước 3.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Đưa $b$ ra ngoài $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Bước 3.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.4

Để viết $b$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.6

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.7

Nâng $b$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Bước 3.3.10

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Bước 3.3.11

Nhân $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ với $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$