Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cos (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - e^{2 x}$ và $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [- e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{2 x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \cdot 1) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5.7

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 7.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 7.4.2

Kết hợp $\frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ và $\sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{2 x})) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Nhân $- 2 e^{2 x}$ với $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.3

Nhân $e^{2 x}$ với $e^{2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.3.1

Di chuyển $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x + 2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.3.3

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.5

Nhân $e^{2 x}$ với $e^{2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.5.1

Di chuyển $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- (e^{2 x} e^{2 x}))) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x + 2 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.5.3

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{4 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Cộng $- 2 e^{4 x}$ và $2 e^{4 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + 0 - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.2.2

Cộng $- 2 e^{2 x}$ và $0$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.3

Trừ $2 e^{2 x}$ khỏi $- 2 e^{2 x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.4.2

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.4.4.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = e^{x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.5.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8.5.3

Nhân $\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ với $1$ .

$\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$