Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (5 x^{2} - 4 x + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x^{2} - 4 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} - 4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.5

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.7

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + 0)$

Bước 2.9

Cộng $10 x - 4$ và $0$ .

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$ .

$(10 x - 4) \frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Bước 3.2

Nhân $10 x - 4$ với $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{10 x - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Bước 3.3

Đưa $2$ ra ngoài $10 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 x$ .

$\frac{2 (5 x) - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Bước 3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 (5 x) + 2 (- 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

Bước 3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (5 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (5 x - 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$