Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sin (x^{2})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (\cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$6 \cos (x^{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Bước 3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- 3 \sin (3 x))$

Bước 3.7

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$6 \cos (x^{2}) x + 6 \sin (3 x)$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 x \cos (x^{2}) + 6 \sin (3 x)$