Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.10

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{4 x^{6}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{6}}$ ở dạng ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Bước 3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Bước 3.5.2

Nhân $6$ với $- 2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Bước 3.6

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Bước 3.7

Nhân $x^{- 12}$ với $x^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển $x^{5}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Bước 3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

Bước 3.7.3

Trừ $12$ khỏi $5$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

Bước 3.8

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

Bước 3.9

Kết hợp $6$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

Bước 3.10

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{18}{4}$ và $x^{- 7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

Bước 3.12

Di chuyển $x^{- 7}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

Bước 3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

Bước 3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

Bước 3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

Bước 3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$