Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\ln (x)}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{\ln (x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{\ln (x)})$ bằng cách di chuyển $\ln (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Bước 3

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Bước 4

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln^{2} (x)$ .

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 9

Nhân $2$ với $3$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Bước 10

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{\ln (x)}{x}$ và $6$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

Bước 11.3

Kết hợp $\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ và $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Bước 11.4

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Bước 12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn $6 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $6$ trong logarit.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$