Giải tích Ví dụ

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x^{4}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $a$ .

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $b x^{3}$ đối với $x$ là $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $b$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c x^{2}$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $c$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [d x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $d$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $d x$ đối với $x$ là $d \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.5.3

Nhân $d$ với $1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

Bước 1.6

Vì $e$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e$ đối với $x$ là $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Cộng $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ và $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

Bước 1.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.1.2

Vì $d$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $d$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4 a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3} a$ đối với $x$ là $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3 b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} b$ đối với $x$ là $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2 c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 c x$ đối với $x$ là $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $0$ và $12 a x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ .

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $x^{4}$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $a x^{4}$ đối với $a$ là $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ .

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.2.3

Nhân $x^{4}$ với $1$ .

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $b x^{3}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $b x^{3}$ đối với $a$ là $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.3.2

Vì $c x^{2}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $c x^{2}$ đối với $a$ là $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.3.3

Vì $d x$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $d x$ đối với $a$ là $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

Bước 4.1.3.4

Vì $e$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $e$ đối với $a$ là $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Bước 4.1.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

Bước 4.1.4.3

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0$

Bước 4.1.4.4

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$f' (a) = x^{4}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{4}$ .

$x^{4}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $x^{4} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$x^{4} = 0$

Bước 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Bước 5.3

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Bước 5.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 5.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

Bước 9.1.2

Nhân $12$ với $0$ .

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

Bước 9.1.3

Nhân $0$ với $a$ .

$2 c + 0 + 6 b (0)$

Bước 9.1.4

Nhân $6 b (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Nhân $0$ với $6$ .

$2 c + 0 + 0 b$

Bước 9.1.4.2

Nhân $0$ với $b$ .

$2 c + 0 + 0$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 c + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $2 c$ và $0$ .

$2 c + 0$

Bước 9.2.2

Cộng $2 c$ và $0$ .

$2 c$

Bước 10

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 11