Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 1.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 1.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 e^{3 x} - e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{3 x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2.7

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 2.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 2.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Bước 2.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

Bước 2.3.9

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 4.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 4.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 4.1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Bước 4.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 4.1.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 4.1.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 e^{3 x} - e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Bước 5.2

Di chuyển $- e^{- x}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng nó vào cả hai vế.

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

Bước 5.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Bước 5.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại $\ln (3 e^{3 x})$ ở dạng $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Bước 5.4.2

Khai triển $\ln (e^{3 x})$ bằng cách di chuyển $3 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Bước 5.4.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Bước 5.4.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

Bước 5.5

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Khai triển $\ln (e^{- x})$ bằng cách di chuyển $- x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

Bước 5.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

Bước 5.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x$

Bước 5.6

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

Bước 5.6.2

Cộng $3 x$ và $x$ .

$\ln (3) + 4 x = 0$

Bước 5.7

Trừ $\ln (3)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = - \ln (3)$

Bước 5.8

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - \ln (3)$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - \ln (3)$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Bước 5.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Bước 5.8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

Bước 5.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{\ln (3)}{4}$ ở dạng $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.2

Rút gọn $\frac{1}{4} \ln (3)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{4}$ trong logarit.

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.3

Nhân $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.3.2

Rút gọn $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.4

Rút gọn $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.6

Nhân các số mũ trong ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.6.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.7

Nhân các số mũ trong ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.7.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 3$ .

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.9

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Bước 9.10

Viết lại $\frac{\ln (3)}{4}$ ở dạng $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

Bước 9.11

Rút gọn $\frac{1}{4} \ln (3)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{4}$ trong logarit.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Bước 9.12

Nhân $- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.12.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Bước 9.12.2

Nhân $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ với $1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Bước 9.13

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Bước 10

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Viết lại $\frac{\ln (3)}{4}$ ở dạng $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

Bước 11.1.2

Rút gọn $\frac{1}{4} \ln (3)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{4}$ trong logarit.

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

Bước 11.2

Thay thế biến $x$ bằng $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ trong biểu thức.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Nhân $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.1.2

Rút gọn $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.2

Rút gọn $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.4

Nhân các số mũ trong ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.5

Nhân các số mũ trong ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.5.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Bước 11.3.1.7

Nhân $- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Bước 11.3.1.7.2

Nhân $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ với $1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Bước 11.3.1.8

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Bước 11.3.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13