Giải tích Ví dụ

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{- 7} + x^{7}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Bước 1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Bước 1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{6}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $6$ với $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{7}{x^{8}}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{8}}$ ở dạng ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{8})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Bước 2.3.5.2

Nhân $8$ với $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Bước 2.3.6

Nhân $8$ với $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Bước 2.3.7

Nhân $x^{- 16}$ với $x^{7}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Bước 2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Bước 2.3.7.3

Trừ $16$ khỏi $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Bước 2.3.8

Nhân $- 8$ với $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Bước 2.4.2

Kết hợp $56$ và $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $42$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $42 x^{5}$ đối với $x$ là $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Bước 3.2.3

Nhân $5$ với $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $56$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{56}{x^{9}}$ đối với $x$ là $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{9}}$ ở dạng ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{9})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $9$ với $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Bước 3.3.6

Nhân $9$ với $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Bước 3.3.7

Nhân $x^{- 18}$ với $x^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Di chuyển $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Bước 3.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Bước 3.3.7.3

Trừ $18$ khỏi $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Bước 3.3.8

Nhân $- 9$ với $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Kết hợp $- 504$ và $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Bước 3.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $210$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $210 x^{4}$ đối với $x$ là $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Bước 4.2.3

Nhân $4$ với $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 504$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{504}{x^{10}}$ đối với $x$ là $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Bước 4.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{10}}$ ở dạng ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Bước 4.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Bước 4.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Bước 4.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{10})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Bước 4.3.5.2

Nhân $10$ với $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Bước 4.3.6

Nhân $10$ với $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Bước 4.3.7

Nhân $x^{- 20}$ với $x^{9}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Di chuyển $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Bước 4.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Bước 4.3.7.3

Trừ $20$ khỏi $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Bước 4.3.8

Nhân $- 10$ với $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Bước 4.4.2

Kết hợp $5040$ và $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$