Giải tích Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle 4x^3-16}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x^3\right]+\frac{d}{dx}[-16]}$.

Tính ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x^3\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Vì ${\displaystyle 12}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 12x^2}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 12\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=2}$.

Nhân ${\displaystyle 2}$ với ${\displaystyle 12}$.

Tìm đạo hàm bậc một.

Đạo hàm bậc nhất của ${\displaystyle f\left(x\right)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 12x^2}$.

Cho đạo hàm bằng ${\displaystyle 0}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 12x^2=0}$ cho ${\displaystyle 12}$ và rút gọn.

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

Rút gọn ${\displaystyle \pm \sqrt{0}}$.

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Chia ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị ${\displaystyle x}$ và làm cho đạo hàm bậc nhất ${\displaystyle 0}$ hoặc không xác định.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle -2}$, từ khoảng ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 12x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như ${\displaystyle 2}$, từ khoảng ${\displaystyle (0,\infty )}$ trong đạo hàm đầu tiên ${\displaystyle 12x^2}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh ${\displaystyle x=0}$, nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho ${\displaystyle f\left(x\right)=4x^3-16}$.