Giải tích Ví dụ

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 \cos (t)$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

Bước 1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

Bước 1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 t)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (t)$ đối với $t$ là $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (t)$ đối với $t$ là $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 \cos (2 t)$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

Bước 2.3.7

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Bước 4.4

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Bước 5

Phân tích $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Bước 5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Bước 5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Bước 5.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Bước 5.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ .

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Bước 5.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Bước 5.2.1.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (t)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Bước 5.2.1.2.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $1$ cộng $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

Bước 5.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Bước 5.2.1.2.4

Nhân $\sin (t)$ với $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Bước 5.2.1.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Bước 5.2.1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

Bước 5.2.1.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 2 \sin (t) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

Bước 5.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

Bước 7

Đặt $- 2 \sin (t) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $- 2 \sin (t) + 1$ bằng với $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (t) = - 1$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (t) = - 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \sin (t) = - 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $\sin (t)$ cho $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

Bước 7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Bước 7.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong hàm sin.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Bước 7.2.5

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$t = π - \frac{π}{6}$

Bước 7.2.6

Rút gọn $π - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 7.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 7.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 7.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.3.1

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 7.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Bước 7.2.7

Đáp án của phương trình $t = \frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Bước 8

Đặt $\sin (t) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $\sin (t) + 1$ bằng với $0$ .

$\sin (t) + 1 = 0$

Bước 8.2

Giải $\sin (t) + 1 = 0$ để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (t) = - 1$

Bước 8.2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong hàm sin.

$t = \arcsin (- 1)$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 8.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 8.2.5.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Bước 8.2.6

Đáp án của phương trình $t = - \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ đúng.

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $t = \frac{π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 11.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 11.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 11.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 11.1.3

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 11.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 11.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 11.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Bước 11.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 11.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 11.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 11.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Bước 11.2

Trừ $2 \sqrt{3}$ khỏi $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Bước 12

$t = \frac{π}{6}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$t = \frac{π}{6}$ là cực đại địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $t = \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $t$ bằng $\frac{π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 13.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 13.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 13.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Bước 13.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Bước 13.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Bước 13.2.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 13.2.2

Để viết $\sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 13.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 13.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 13.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Bước 13.2.4.2

Cộng $2 \sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 13.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai tại $t = \frac{5 π}{6}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.5

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 15.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Bước 15.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Bước 15.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Bước 15.1.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 15.1.8

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 15.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.9.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 15.1.9.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 15.1.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 15.1.9.4

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Bước 15.1.10

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Bước 15.2

Cộng $\sqrt{3}$ và $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Bước 16

$t = \frac{5 π}{6}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$t = \frac{5 π}{6}$ là cực tiểu địa phương

Bước 17

Tìm giá trị y khi $t = \frac{5 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế biến $t$ bằng $\frac{5 π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 17.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 17.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 17.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 17.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 17.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Bước 17.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Bước 17.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Bước 17.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Bước 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Bước 17.2.1.6

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.2

Để viết $- \sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.3.1

Kết hợp $- \sqrt{3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.4.2

Trừ $\sqrt{3}$ khỏi $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 17.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai tại $t = - \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Bước 19

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Bước 19.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Bước 19.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Bước 19.1.4

Nhân $- 2$ với $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Bước 19.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Bước 19.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Bước 19.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$0 - 4 \sin (- π)$

Bước 19.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$0 - 4 \sin (0)$

Bước 19.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Bước 19.1.8

Nhân $- 4$ với $0$ .

$0 + 0$

Bước 19.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 20

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $t$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Bước 20.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Thay thế biến $t$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Bước 20.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.2.1.1

Tính $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Bước 20.2.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Bước 20.2.2.1.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Bước 20.2.2.1.4

Tính $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Bước 20.2.2.1.5

Nhân $2$ với $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Bước 20.2.2.2

Trừ $0.29100006$ khỏi $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Bước 20.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Bước 20.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.1

Thay thế biến $t$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Bước 20.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.3.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Bước 20.3.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Bước 20.3.2.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Bước 20.3.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Bước 20.3.2.1.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Bước 20.3.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$f' (0) = 2$

Bước 20.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 20.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.1

Thay thế biến $t$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Bước 20.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.2.1.1

Tính $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Bước 20.4.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Bước 20.4.2.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Bước 20.4.2.1.4

Tính $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Bước 20.4.2.1.5

Nhân $2$ với $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Bước 20.4.2.2

Trừ $1.30728724$ khỏi $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Bước 20.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Bước 20.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.5.1

Thay thế biến $t$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Bước 20.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.5.2.1.1

Tính $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Bước 20.5.2.1.2

Nhân $- 2$ với $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Bước 20.5.2.1.3

Nhân $2$ với $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Bước 20.5.2.1.4

Tính $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Bước 20.5.2.1.5

Nhân $2$ với $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Bước 20.5.2.2

Trừ $0.29100006$ khỏi $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Bước 20.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.22260492$ .

$1.22260492$

Bước 20.6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $7$ , từ khoảng $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.6.1

Thay thế biến $t$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Bước 20.6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.6.2.1.1

Tính $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Bước 20.6.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Bước 20.6.2.1.3

Nhân $2$ với $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Bước 20.6.2.1.4

Tính $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Bước 20.6.2.1.5

Nhân $2$ với $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Bước 20.6.2.2

Cộng $- 1.31397319$ và $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Bước 20.6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Bước 20.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $t = - \frac{π}{2}$ , nên $t = - \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương.

$t = - \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 20.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $t = \frac{π}{6}$ , nên $t = \frac{π}{6}$ là một cực đại địa phương.

$t = \frac{π}{6}$ là cực đại địa phương

Bước 20.9

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $t = \frac{5 π}{6}$ , nên $t = \frac{5 π}{6}$ là một cực tiểu địa phương.

$t = \frac{5 π}{6}$ là cực tiểu địa phương

Bước 20.10

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $t = \frac{3 π}{2}$ , nên $t = \frac{3 π}{2}$ là một cực đại địa phương.

$t = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 20.11

Đây là những cực trị địa phương cho $f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ .

$t = - \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$t = \frac{π}{6}$ là cực đại địa phương

$t = \frac{5 π}{6}$ là cực tiểu địa phương

$t = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

$t = - \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$t = \frac{π}{6}$ là cực đại địa phương

$t = \frac{5 π}{6}$ là cực tiểu địa phương

$t = \frac{3 π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 21