Giải tích Ví dụ

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Bước 1

Viết $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.4.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 2.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 2.9

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.2

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.3.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.5

Để viết $x^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.6

Kết hợp $x^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.10.2.9

Cộng $3 x^{\frac{1}{3}}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.9

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.10

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.2.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.3.5.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.3.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Bước 3.3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Bước 3.3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 3.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Bước 3.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Bước 3.3.9.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Bước 3.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Bước 3.3.11

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 3.3.12

Kết hợp $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ và $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Bước 3.3.13

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $x^{- \frac{4}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.1

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Bước 3.3.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Bước 3.3.13.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Bước 3.3.13.4

Trừ $1$ khỏi $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Bước 3.3.13.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Bước 3.3.14

Di chuyển $x^{- \frac{5}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Bước 3.3.15

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Bước 3.3.16

Nhân $4$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Bước 3.3.17

Nhân $3$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5.1.2.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5.1.2.4.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 5.1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 5.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 5.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 5.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 5.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 5.1.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 5.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 5.1.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 5.1.9

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.2

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.2.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.10.2.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.3.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.5

Để viết $x^{\frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.6

Kết hợp $x^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.1.10.2.9

Cộng $3 x^{\frac{1}{3}}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 6.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Bước 6.2.2

Vì $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $3, 3, 1$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{\frac{2}{3}}$ .

Bước 6.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 6.2.4

Vì $3$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $3$ .

$3$ là một số nguyên tố

Bước 6.2.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 6.2.6

BCNN của $3, 3, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$3$

Bước 6.2.7

BCNN của $x^{\frac{2}{3}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x^{\frac{2}{3}}$

Bước 6.2.8

BCNN cho $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ là phần số $3$ nhân với phần biến.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Bước 6.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ với $3 x^{\frac{2}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ với $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.3

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $x^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.3.1

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.3.4

Cộng $2$ và $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.3.5

Chia $3$ cho $3$ .

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.4

Rút gọn $4 x^{1}$ .

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.2.1.7.2

Viết lại biểu thức.

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Bước 6.3.3.1.2

Nhân $0$ với $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x + 4 = 0$

Bước 6.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = - 4$

Bước 6.4.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 4$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 4$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Bước 6.4.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Bước 6.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Chia $- 4$ cho $4$ .

$x = - 1$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.1.2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 7.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 7.2

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Bước 7.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Bước 7.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Bước 7.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 7.3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 7.3.3.1.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Bước 7.3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $27$ .

$x^{2} = 0$

Bước 7.3.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 7.3.3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 7.3.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 7.3.3.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = - 1, 0$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{2}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{9 \cdot 1} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.2

Nhân $9$ với $1$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.3.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 10.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Bước 10.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Bước 10.1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{5}}$

Bước 10.1.3.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 \cdot - 1}$

Bước 10.1.4

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{- 9}$

Bước 10.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4}{9} - - \frac{8}{9}$

Bước 10.1.6

Nhân $- - \frac{8}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{4}{9} + 1 (\frac{8}{9})$

Bước 10.1.6.2

Nhân $\frac{8}{9}$ với $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{8}{9}$

Bước 10.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 + 8}{9}$

Bước 10.2.2

Cộng $4$ và $8$ .

$\frac{12}{9}$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 (4)}{9}$

Bước 10.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Bước 10.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Bước 10.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{3}$

Bước 11

$x = - 1$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

Bước 12.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (- 1) = (- 1) ((- 1) + 4)$

Bước 12.2.3

Tính số mũ.

$f (- 1) = - 1 ((- 1) + 4)$

Bước 12.2.4

Cộng $- 1$ và $4$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 3$

Bước 12.2.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (- 1) = - 3$

Bước 12.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$y = - 3$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.3.2

Nhân $9$ với $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 14.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 15

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 15.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 0.5$ , từ khoảng $(- 1, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.5$ trong biểu thức.

$f' (- 0.5) = \frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.3.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.1.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.1.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.1.6.2

Cộng $6$ và $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.4.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Bước 15.5

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = - 1$ , nên $x = - 1$ là một cực tiểu địa phương.

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 15.6

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 15.7

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ .

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 16